近年、夫婦別姓の議論が活発になってきていますが、現時点では、日本人同士の結婚の場合は、民法750条で「夫婦は、婚姻の際に定めるところに従い、夫又は妻の氏を称する。」と定められており、少なくとも法律上は、夫婦同姓が必要となっています。
これに対して、日本人が外国人と結婚した場合、日本人の戸籍上の氏は変わらず、そのまま氏について何も手続きをしないと夫婦別姓となります。
参考リンク:名古屋おしえてダイヤル・婚姻届で、夫婦別姓とすることができますか
戸籍としては、日本人同士が結婚した場合は、「夫婦」について新戸籍が編製されるのに対し(戸籍法16条1項)、日本人と外国人が結婚した場合は、「その日本人」について新戸籍が編製され(戸籍法16条3項本文)、外国人についての戸籍は作られません。
日本人が、結婚した外国人の方の氏に変更したい場合には、婚姻の日から6か月以内に届出をする必要があります(戸籍法107条2項)。
6か月を過ぎてしまった場合には、「裁判所の許可」を得たうえで、届出をすることが必要になります(戸籍法107条の2)。
他方、外国人が、結婚した日本人の方の氏に変更したい場合、これができるかどうかは外国人の自国の法律によって異なります。